# 无感 FOC：滑模观测器（SMO）

> **系列**：电机控制系列 - 第 11 篇** ****难度**：⭐⭐⭐⭐** ****阅读时间**：40 分钟

---

## 前言

**编码器成本高、体积大、可靠性差。**

**无感 FOC 的优势**：

* **✅ 无编码器 → 降低成本**
* **✅ 减少体积**
* **✅ 提高可靠性**

**本篇目标**：

* **✅ 理解滑模观测器原理**
* **✅ 掌握反电动势提取**
* **✅ 实现完整的 SMO 代码**

---

## 一、滑模观测器原理

### 1.1 核心思想

**观测器**：根据可测量，估计不可测量

```
 可测量：ia, ib, ua, ub
 不可测量：θe（电角度）
 
 观测器：利用电机数学模型，从电流误差估计反电动势 → 提取角度
```

### 1.2 数学模型

**αβ 坐标系电压方程**：

```
 uα = Rs·iα + L·(diα/dt) + eα
 uβ = Rs·iβ + L·(diβ/dt) + eβ
 
 其中：
 - eα, eβ：反电动势
 - eα = -ωe·ψf·sin(θe)
 - eβ =  ωe·ψf·cos(θe)
```

**关键**：反电动势包含角度信息！

```
 θe = atan2(-eα, eβ)
```

### 1.3 滑模观测器方程

**电流观测器**：

```
 îα_dot = (uα - Rs·iα - zα) / L
 îβ_dot = (uβ - Rs·iβ - zβ) / L
 
 其中：
 - îα, îβ：估计电流
 - zα, zβ：滑模控制项
```

**滑模控制项**：

```
 zα = k·sign(iα - îα)
 zβ = k·sign(iβ - îβ)
 
 其中：
 - k：滑模增益（需大于反电动势最大值）
 - sign(x)：符号函数
```

**反电动势提取**（低通滤波）：

```
 êα = LPF(zα)
 êβ = LPF(zβ)
```

---

## 二、SMO 实现

### 2.1 数据结构

```
 /**
  * @brief 滑模观测器
  */
 typedef struct {
     // 估计值
     float i_alpha_est;
     float i_beta_est;
     float e_alpha;
     float e_beta;
     
     // 观测器参数
     float k_slide;        // 滑模增益
     float lpf_coeff;      // 低通滤波系数
     
     // 输出
     float theta_est;      // 估计角度
     float omega_est;      // 估计角速度
 } SMO_t;
```

### 2.2 SMO 更新函数

```
 /**
  * @brief SMO 更新
  */
 void SMO_Update(SMO_t *smo,
                 float u_alpha, float u_beta,
                 float i_alpha, float i_beta,
                 float dt,
                 Motor_Params_t *motor) {
     
     // 1. 电流误差
     float err_alpha = i_alpha - smo->i_alpha_est;
     float err_beta  = i_beta  - smo->i_beta_est;
     
     // 2. 滑模函数（平滑 sign 函数）
     float z_alpha = smo->k_slide * tanhf(err_alpha * 10.0f);
     float z_beta  = smo->k_slide * tanhf(err_beta  * 10.0f);
     
     // 3. 电流观测器
     float i_alpha_dot = (u_alpha - motor->Rs * i_alpha - z_alpha) / motor->Ld;
     float i_beta_dot  = (u_beta  - motor->Rs * i_beta  - z_beta)  / motor->Ld;
     
     smo->i_alpha_est += i_alpha_dot * dt;
     smo->i_beta_est  += i_beta_dot  * dt;
     
     // 4. 反电动势提取（低通滤波）
     smo->e_alpha = smo->e_alpha * (1.0f - smo->lpf_coeff) + z_alpha * smo->lpf_coeff;
     smo->e_beta  = smo->e_beta  * (1.0f - smo->lpf_coeff) + z_beta  * smo->lpf_coeff;
     
     // 5. 角度计算
     float theta_new = atan2f(-smo->e_alpha, smo->e_beta);
     
     // 6. 角度归一化
     if (theta_new < 0) theta_new += 2.0f * M_PI;
     
     // 7. 角速度计算（PLL 或简单差分）
     float delta_theta = theta_new - smo->theta_est;
     
     // 处理角度跳变
     if (delta_theta > M_PI) delta_theta -= 2.0f * M_PI;
     if (delta_theta < -M_PI) delta_theta += 2.0f * M_PI;
     
     smo->omega_est = delta_theta / dt;
     smo->theta_est = theta_new;
 }
```

### 2.3 参数整定

```
/**
 * @brief SMO 参数初始化
 */
void SMO_Init(SMO_t *smo, Motor_Params_t *motor) {
    // 滑模增益：需大于反电动势峰值
    // e_max = ω_max · ψf
    float omega_max = 1000.0f;  // rad/s
    float e_max = omega_max * motor->Psi_f;
    smo->k_slide = e_max * 1.5f;  // 1.5 倍安全裕量

// 低通滤波系数：权衡噪声 vs 延迟
    // 建议值：0.01 - 0.1
    smo->lpf_coeff = 0.05f;

// 初始化
    smo->i_alpha_est = 0;
    smo->i_beta_est = 0;
    smo->e_alpha = 0;
    smo->e_beta = 0;
    smo->theta_est = 0;
    smo->omega_est = 0;
}
```

---

## 三、无感 FOC 集成

```
/**
 * @brief 无感 FOC 控制
 */
void FOC_Sensorless_Update(FOC_t *foc) {
    // 1. 电流采样
    ADC_Read_Current(&foc->ia, &foc->ib, &foc->ic);

// 2. Clarke 变换
    Clarke_Transform(foc->ia, foc->ib, foc->ic,
                     &foc->i_alpha, &foc->i_beta);

// 3. SMO 估计角度
    SMO_Update(&foc->smo,
               foc->v_alpha, foc->v_beta,  // 上一周期电压
               foc->i_alpha, foc->i_beta,
               foc->pid_id.Ts,
               &foc->motor);

foc->theta_e = foc->smo.theta_est;
    foc->omega_m = foc->smo.omega_est / foc->motor.P;

// 4. Park 变换
    Park_Transform(foc->i_alpha, foc->i_beta, foc->theta_e,
                   &foc->id, &foc->iq);

// 5. 电流环 PID
    foc->vd = PID_Position(&foc->pid_id, foc->id_ref - foc->id);
    foc->vq = PID_Position(&foc->pid_iq, foc->iq_ref - foc->iq);

// 6. 逆 Park 变换
    Inv_Park_Transform(foc->vd, foc->vq, foc->theta_e,
                       &foc->v_alpha, &foc->v_beta);

// 7. SVPWM
    SVPWM_Control(foc->v_alpha, foc->v_beta, VDC);
}
```

---

## 四、SMO 局限性

### 4.1 低速性能差

**原因**：

* **低速 → 反电动势小 → 信噪比低**
* **观测器难以区分反电动势和噪声**

**解决方法**：

* **高频注入法（第 12 篇）**
* **开环强拖启动（低速）**

### 4.2 参数敏感性

**原因**：

* **观测器依赖 Rs, L**
* **参数变化 → 性能下降**

**解决方法**：

* **在线参数辨识（第 17 篇）**

---

## 五、总结

**SMO 核心要点**：

1. **电流观测器 + 滑模函数**
2. **反电动势提取（低通滤波）**
3. **角度 = atan2(-eα, eβ)**
4. **适用于中高速场景**

**下一篇**：[无感 FOC：高频注入法](#)

无感 FOC：滑模观测器（SMO）

系列：电机控制系列 - 第 11 篇 难度：⭐⭐⭐⭐ 阅读时间：40 分钟

前言

编码器成本高、体积大、可靠性差。

无感 FOC 的优势：

✅ 无编码器 → 降低成本
✅ 减少体积
✅ 提高可靠性

本篇目标：

✅ 理解滑模观测器原理
✅ 掌握反电动势提取
✅ 实现完整的 SMO 代码

一、滑模观测器原理

1.1 核心思想

观测器：根据可测量，估计不可测量

 可测量：ia, ib, ua, ub
 不可测量：θe（电角度）
 
 观测器：利用电机数学模型，从电流误差估计反电动势 → 提取角度

1.2 数学模型

αβ 坐标系电压方程：

 uα = Rs·iα + L·(diα/dt) + eα
 uβ = Rs·iβ + L·(diβ/dt) + eβ
 
 其中：
 - eα, eβ：反电动势
 - eα = -ωe·ψf·sin(θe)
 - eβ =  ωe·ψf·cos(θe)

关键：反电动势包含角度信息！

 θe = atan2(-eα, eβ)

1.3 滑模观测器方程

电流观测器：

 îα_dot = (uα - Rs·iα - zα) / L
 îβ_dot = (uβ - Rs·iβ - zβ) / L
 
 其中：
 - îα, îβ：估计电流
 - zα, zβ：滑模控制项

滑模控制项：

 zα = k·sign(iα - îα)
 zβ = k·sign(iβ - îβ)
 
 其中：
 - k：滑模增益（需大于反电动势最大值）
 - sign(x)：符号函数

反电动势提取（低通滤波）：

 êα = LPF(zα)
 êβ = LPF(zβ)

二、SMO 实现

2.1 数据结构

 /**
  * @brief 滑模观测器
  */
 typedef struct {
     // 估计值
     float i_alpha_est;
     float i_beta_est;
     float e_alpha;
     float e_beta;
     
     // 观测器参数
     float k_slide;        // 滑模增益
     float lpf_coeff;      // 低通滤波系数
     
     // 输出
     float theta_est;      // 估计角度
     float omega_est;      // 估计角速度
 } SMO_t;

2.2 SMO 更新函数

 /**
  * @brief SMO 更新
  */
 void SMO_Update(SMO_t *smo,
                 float u_alpha, float u_beta,
                 float i_alpha, float i_beta,
                 float dt,
                 Motor_Params_t *motor) {
     
     // 1. 电流误差
     float err_alpha = i_alpha - smo->i_alpha_est;
     float err_beta  = i_beta  - smo->i_beta_est;
     
     // 2. 滑模函数（平滑 sign 函数）
     float z_alpha = smo->k_slide * tanhf(err_alpha * 10.0f);
     float z_beta  = smo->k_slide * tanhf(err_beta  * 10.0f);
     
     // 3. 电流观测器
     float i_alpha_dot = (u_alpha - motor->Rs * i_alpha - z_alpha) / motor->Ld;
     float i_beta_dot  = (u_beta  - motor->Rs * i_beta  - z_beta)  / motor->Ld;
     
     smo->i_alpha_est += i_alpha_dot * dt;
     smo->i_beta_est  += i_beta_dot  * dt;
     
     // 4. 反电动势提取（低通滤波）
     smo->e_alpha = smo->e_alpha * (1.0f - smo->lpf_coeff) + z_alpha * smo->lpf_coeff;
     smo->e_beta  = smo->e_beta  * (1.0f - smo->lpf_coeff) + z_beta  * smo->lpf_coeff;
     
     // 5. 角度计算
     float theta_new = atan2f(-smo->e_alpha, smo->e_beta);
     
     // 6. 角度归一化
     if (theta_new < 0) theta_new += 2.0f * M_PI;
     
     // 7. 角速度计算（PLL 或简单差分）
     float delta_theta = theta_new - smo->theta_est;
     
     // 处理角度跳变
     if (delta_theta > M_PI) delta_theta -= 2.0f * M_PI;
     if (delta_theta < -M_PI) delta_theta += 2.0f * M_PI;
     
     smo->omega_est = delta_theta / dt;
     smo->theta_est = theta_new;
 }

2.3 参数整定

/**
 * @brief SMO 参数初始化
 */
void SMO_Init(SMO_t *smo, Motor_Params_t *motor) {
    // 滑模增益：需大于反电动势峰值
    // e_max = ω_max · ψf
    float omega_max = 1000.0f;  // rad/s
    float e_max = omega_max * motor->Psi_f;
    smo->k_slide = e_max * 1.5f;  // 1.5 倍安全裕量

    // 低通滤波系数：权衡噪声 vs 延迟
    // 建议值：0.01 - 0.1
    smo->lpf_coeff = 0.05f;

    // 初始化
    smo->i_alpha_est = 0;
    smo->i_beta_est = 0;
    smo->e_alpha = 0;
    smo->e_beta = 0;
    smo->theta_est = 0;
    smo->omega_est = 0;
}

三、无感 FOC 集成

/**
 * @brief 无感 FOC 控制
 */
void FOC_Sensorless_Update(FOC_t *foc) {
    // 1. 电流采样
    ADC_Read_Current(&foc->ia, &foc->ib, &foc->ic);

    // 2. Clarke 变换
    Clarke_Transform(foc->ia, foc->ib, foc->ic,
                     &foc->i_alpha, &foc->i_beta);

    // 3. SMO 估计角度
    SMO_Update(&foc->smo,
               foc->v_alpha, foc->v_beta,  // 上一周期电压
               foc->i_alpha, foc->i_beta,
               foc->pid_id.Ts,
               &foc->motor);

    foc->theta_e = foc->smo.theta_est;
    foc->omega_m = foc->smo.omega_est / foc->motor.P;

    // 4. Park 变换
    Park_Transform(foc->i_alpha, foc->i_beta, foc->theta_e,
                   &foc->id, &foc->iq);

    // 5. 电流环 PID
    foc->vd = PID_Position(&foc->pid_id, foc->id_ref - foc->id);
    foc->vq = PID_Position(&foc->pid_iq, foc->iq_ref - foc->iq);

    // 6. 逆 Park 变换
    Inv_Park_Transform(foc->vd, foc->vq, foc->theta_e,
                       &foc->v_alpha, &foc->v_beta);

    // 7. SVPWM
    SVPWM_Control(foc->v_alpha, foc->v_beta, VDC);
}

四、SMO 局限性

4.1 低速性能差

原因：

低速 → 反电动势小 → 信噪比低
观测器难以区分反电动势和噪声

解决方法：

高频注入法（第 12 篇）
开环强拖启动（低速）

4.2 参数敏感性

原因：

观测器依赖 Rs, L
参数变化 → 性能下降

解决方法：

在线参数辨识（第 17 篇）

五、总结

SMO 核心要点：

电流观测器 + 滑模函数
反电动势提取（低通滤波）
角度 = atan2(-eα, eβ)
适用于中高速场景

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最后修改：2026 年 03 月 14 日

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