# 电机数学模型：从物理到方程

> **系列**：电机控制系列 - 第 4 篇** ****目标平台**：STM32F407ZGT6** ****阅读时间**：35 分钟** ****前置知识**：微积分、电路理论、第 2 篇（电机基础）

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## 前言

**很多人看到数学公式就想逃。**

**但****不懂数学模型 = 不懂控制**：

* **为什么 PID 参数这样调？**
* **为什么观测器需要这个方程？**
* **为什么弱磁要这样计算？**

**答案都在数学模型里。**

**本篇目标**：

* **✅ 理解 PMSM 的电压/磁链/转矩方程**
* **✅ 掌握 abc → αβ → dq 坐标变换**
* **✅ 学会离散化与代码实现**

**不用担心**：我会用直觉 + 图示解释，不只是公式。

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## 一、abc 坐标系下的电机模型

### 1.1 三相静止坐标系（abc）

```
 abc 坐标系：
 - a 轴：参考轴（0°）
 - b 轴：超前 a 轴 120°
 - c 轴：超前 b 轴 120°
 
         b 轴
          /\
         /  \
        /    \
       /______\
      a 轴   c 轴
```

### 1.2 电压方程

**法拉第定律**：

```
 施加电压 = 电阻压降 + 电感压降 + 反电动势
 
 ua = Rs·ia + (dψa/dt)
 ub = Rs·ib + (dψb/dt)
 uc = Rs·ic + (dψc/dt)
 
 其中：
 - ua, ub, uc：相电压（V）
 - ia, ib, ic：相电流（A）
 - Rs：定子电阻（Ω）
 - ψa, ψb, ψc：磁链（Wb）
```

**磁链方程**：

```
 磁链 = 自感磁链 + 互感磁链 + 永磁体磁链
 
 ψa = Laa·ia + Lab·ib + Lac·ic + ψf·cos(θe)
 ψb = Lba·ia + Lbb·ib + Lbc·ic + ψf·cos(θe - 120°)
 ψc = Lca·ia + Lcb·ib + Lcc·ic + ψf·cos(θe + 120°)
 
 其中：
 - Laa, Lbb, Lcc：自感（H）
 - Lab, Lbc, Lca：互感（H）
 - ψf：永磁体磁链（Wb）
 - θe：电角度（rad）
```

### 1.3 转矩方程

**能量守恒**：

```
 电磁转矩 = 电磁功率 / 机械角速度
 
 Te = P × [ψf·(ia·cosθe + ib·cos(θe-120°) + ic·cos(θe+120°)) +
           (Ld - Lq)·(id·iq)]
 
 其中：
 - P：极对数
 - id, iq：dq 坐标系电流（后续推导）
 - Ld, Lq：d 轴、q 轴电感
```

### 1.4 运动方程

**牛顿第二定律**：

```
 J × (dω/dt) = Te - TL - B×ω
 
 其中：
 - J：转动惯量（kg·m²）
 - ω：机械角速度（rad/s）
 - Te：电磁转矩（N·m）
 - TL：负载转矩（N·m）
 - B：摩擦系数（N·m·s/rad）
```

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## 二、坐标变换：从 abc 到 dq

### 2.1 为什么要坐标变换？

**问题**：abc 坐标系下

* **❌ 三相耦合（ia, ib, ic 相互影响）**
* **❌ 时变系统（电感随角度变化）**
* **❌ 控制复杂**

**解决**：变换到 dq 坐标系

* **✅ 解耦（id, iq 独立控制）**
* **✅ 时不变（电感常数）**
* **✅ 控制简单**

### 2.2 Clarke 变换（abc → αβ）

```
 abc（三相静止） → αβ（两相静止）
 
 α 轴与 a 轴重合
 β 轴超前 α 轴 90°
 
 变换矩阵（等幅值变换）：
 
 [ iα ]   [  1      -1/2      -1/2    ] [ ia ]
 [ iβ ] = [  0      √3/2     -√3/2    ] [ ib ]
           └────────────────────────────┘
                     2/3
 
 简化公式：
 iα = ia
 iβ = (ia + 2·ib) / √3
```

**物理意义**：

* **3 维（abc）→ 2 维（αβ）**
* **信息不变，只是换个坐标系**

### 2.3 Park 变换（αβ → dq）

```
 αβ（两相静止） → dq（两相旋转）
 
 d 轴：磁极方向（直轴）
 q 轴：垂直磁极（交轴）
 dq 坐标系以电角速度 ωe 旋转
 
 变换矩阵：
 
 [ id ]   [  cosθe   sinθe ] [ iα ]
 [ iq ] = [ -sinθe   cosθe ] [ iβ ]
 
 其中：
 - θe：电角度（rad）
 - θe = P × θm（极对数 × 机械角度）
```

**物理意义**：

* **从"地面"看（αβ）→ 从"转子"看（dq）**
* **旋转的电流矢量 → 静止的 id, iq**

### 2.4 完整变换流程

```
 abc → αβ → dq
 
 [ ia ]      [ iα ]      [ id ]
 [ ib ]  →   [ iβ ]  →   [ iq ]
 [ ic ]
 
 Clarke       Park
 变换         变换
```

**逆变换**：

```
dq → αβ → abc

[ id ]      [ iα ]      [ ia ]
[ iq ]  →   [ iβ ]  →   [ ib ]
                         [ ic ]

Inv_Park    Inv_Clarke
```

---

## 三、dq 坐标系下的电机模型

### 3.1 电压方程（dq 坐标系）

**最终形式**（简洁！）

```
ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·(diq/dt) + ωe·Ld·id + ωe·ψf
     └──┬──┘   └───┬───┘   └──────┬──────┘
      电阻      电感压降     旋转电动势

其中：
- ud, uq：d 轴、q 轴电压（V）
- id, iq：d 轴、q 轴电流（A）
- Ld, Lq：d 轴、q 轴电感（H）
- ωe：电角速度（rad/s）= P × ωm
- ψf：永磁体磁链（Wb）
```

**关键项解析**：

| **项**         | **公式**           | **物理意义**     | **控制影响**     |
| -------------- | ------------------ | ---------------- | ---------------- |
| **电阻压降**   | **Rs·id, Rs·iq** | **铜损耗**       | **低速影响大**   |
| **电感压降**   | **Ld·did/dt**     | **电流变化产生** | **动态响应**     |
| **旋转电动势** | **-ωe·Lq·iq**   | **d 轴耦合项**   | **需要解耦补偿** |
| **反电动势**   | **ωe·ψf**       | **永磁体产生**   | **高速主导**     |

### 3.2 磁链方程（dq 坐标系）

```
ψd = Ld·id + ψf
ψq = Lq·iq

简洁！无互感项！
```

### 3.3 转矩方程（dq 坐标系）

```
Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]
     └─────┬─────┘  └──────────┬──────────┘
       永磁转矩         磁阻转矩

SPM（Ld = Lq）：Te = (3/2)·P·ψf·iq
IPM（Ld < Lq）：额外磁阻转矩
```

### 3.4 运动方程（不变）

```
J·(dω/dt) = Te - TL - B·ω
```

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## 四、数学模型的离散化

### 4.1 为什么需要离散化？

**数字控制器**：

* **单片机是离散系统（采样周期 Ts）**
* **需要将连续微分方程 → 离散差分方程**

### 4.2 欧拉法（一阶近似）

**原理**：

```
连续：dx/dt = f(x, u)

离散：x(k+1) = x(k) + f(x(k), u(k))·Ts

其中：
- Ts：采样周期（s）
- x(k)：当前状态
- x(k+1)：下一时刻状态
```

### 4.3 电压方程离散化

**d 轴电流离散化**：

```
连续：
ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq

解出 did/dt：
did/dt = (ud - Rs·id + ωe·Lq·iq) / Ld

离散化（欧拉法）：
id(k+1) = id(k) + Ts·(ud - Rs·id + ωe·Lq·iq) / Ld
```

**q 轴电流离散化**：

```
iq(k+1) = iq(k) + Ts·(uq - Rs·iq - ωe·Ld·id - ωe·ψf) / Lq
```

### 4.4 代码实现

```
/**
 * @brief 电流预测（离散化模型）
 */
void Current_Predict(float ud, float uq, float id, float iq,
                     float omega_e, float Ts,
                     Motor_Params_t *motor,
                     float *id_next, float *iq_next) {
    // d 轴电流预测
    *id_next = id + Ts * (ud - motor->Rs * id + omega_e * motor->Lq * iq) / motor->Ld;

// q 轴电流预测
    *iq_next = iq + Ts * (uq - motor->Rs * iq - omega_e * motor->Ld * id - omega_e * motor->Psi_f) / motor->Lq;
}
```

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## 五、STM32 代码实现

### 5.1 电机参数结构体

```
/**
 * @brief 电机参数
 */
typedef struct {
    float Rs;      // 定子电阻（Ω）
    float Ld;      // d 轴电感（H）
    float Lq;      // q 轴电感（H）
    float Psi_f;   // 永磁体磁链（Wb）
    float J;       // 转动惯量（kg·m²）
    float B;       // 摩擦系数（N·m·s/rad）
    uint8_t P;     // 极对数

// 计算参数（加速运算）
    float inv_Ld;  // 1/Ld
    float inv_Lq;  // 1/Lq
    float inv_J;   // 1/J
} Motor_Params_t;

/**
 * @brief 初始化电机参数
 */
void Motor_Params_Init(Motor_Params_t *motor) {
    motor->Rs = 0.15f;    // Ω
    motor->Ld = 0.0025f;  // H
    motor->Lq = 0.0035f;  // H
    motor->Psi_f = 0.08f; // Wb
    motor->J = 0.0005f;   // kg·m²
    motor->B = 0.0001f;   // N·m·s/rad
    motor->P = 4;         // 8 极

// 计算倒数（加速）
    motor->inv_Ld = 1.0f / motor->Ld;
    motor->inv_Lq = 1.0f / motor->Lq;
    motor->inv_J = 1.0f / motor->J;
}
```

### 5.2 坐标变换函数

```
#include <math.h>

/**
 * @brief Clarke 变换（abc → αβ）
 */
void Clarke_Transform(float ia, float ib, float ic,
                      float *i_alpha, float *i_beta) {
    // 等幅值变换
    *i_alpha = ia;
    *i_beta = (ia + 2.0f * ib) / 1.732050808f;  // √3 ≈ 1.732
}

/**
 * @brief Park 变换（αβ → dq）
 */
void Park_Transform(float i_alpha, float i_beta, float theta_e,
                    float *id, float *iq) {
    float cos_theta = cosf(theta_e);
    float sin_theta = sinf(theta_e);

*id =  i_alpha * cos_theta + i_beta * sin_theta;
    *iq = -i_alpha * sin_theta + i_beta * cos_theta;
}

/**
 * @brief 逆 Park 变换（dq → αβ）
 */
void Inv_Park_Transform(float vd, float vq, float theta_e,
                        float *v_alpha, float *v_beta) {
    float cos_theta = cosf(theta_e);
    float sin_theta = sinf(theta_e);

*v_alpha = vd * cos_theta - vq * sin_theta;
    *v_beta  = vd * sin_theta + vq * cos_theta;
}
```

### 5.3 转矩计算

```
/**
 * @brief 计算电磁转矩
 */
float Calc_Torque(float id, float iq, Motor_Params_t *motor) {
    // Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]
    float Te_perm = 1.5f * motor->P * motor->Psi_f * iq;
    float Te_reluct = 1.5f * motor->P * (motor->Ld - motor->Lq) * id * iq;

return Te_perm + Te_reluct;
}
```

### 5.4 完整的电机模型仿真

```
/**
 * @brief 电机状态结构体
 */
typedef struct {
    float id, iq;        // dq 电流
    float omega_m;       // 机械角速度（rad/s）
    float theta_m;       // 机械角度（rad）
    float theta_e;       // 电角度（rad）
} Motor_State_t;

/**
 * @brief 电机模型更新（仿真一个采样周期）
 */
void Motor_Update(Motor_State_t *state,
                  float vd, float vq,
                  float TL,
                  float Ts,
                  Motor_Params_t *motor) {
    // 1. 计算电角速度
    float omega_e = state->omega_m * motor->P;

// 2. 电流更新（欧拉法）
    float id_dot = (vd - motor->Rs * state->id + omega_e * motor->Lq * state->iq) * motor->inv_Ld;
    float iq_dot = (vq - motor->Rs * state->iq - omega_e * motor->Ld * state->id - omega_e * motor->Psi_f) * motor->inv_Lq;

state->id += id_dot * Ts;
    state->iq += iq_dot * Ts;

// 3. 转矩计算
    float Te = Calc_Torque(state->id, state->iq, motor);

// 4. 转速更新
    float omega_dot = (Te - TL - motor->B * state->omega_m) * motor->inv_J;
    state->omega_m += omega_dot * Ts;

// 5. 角度更新
    state->theta_m += state->omega_m * Ts;
    state->theta_e = state->theta_m * motor->P;

// 6. 角度归一化
    if (state->theta_m > 2.0f * M_PI) {
        state->theta_m -= 2.0f * M_PI;
    }
    if (state->theta_e > 2.0f * M_PI) {
        state->theta_e -= 2.0f * M_PI;
    }
}
```

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## 六、模型验证

### 6.1 稳态验证

**测试条件**：

* **id = 0, iq = 5A（额定电流）**
* **ωm = 3000 rpm = 314 rad/s**
* **TL = 0（空载）**

**预期结果**：

```
1. 转矩：
Te = 1.5 × 4 × 0.08 × 5 = 2.4 N·m

2. 稳态电压：
ud = Rs·id - ωe·Lq·iq = 0 - 314×4×0.0035×5 = -21.98V
uq = Rs·iq + ωe·ψf = 0.15×5 + 314×4×0.08 = 0.75 + 100.48 = 101.23V

3. 转速（稳态）：
J·dω/dt = 0 → Te = B·ω
ω = Te / B = 2.4 / 0.0001 = 24000 rad/s（理论，实际受电压限制）
```

### 6.2 动态响应

**仿真代码**：

```
int main(void) {
    Motor_Params_t motor;
    Motor_State_t state = {0};
    Motor_Params_Init(&motor);

float vd = 0, vq = 50.0f;  // 施加 50V q 轴电压
    float TL = 0;
    float Ts = 0.0001f;  // 0.1ms

for (int i = 0; i < 10000; i++) {
        Motor_Update(&state, vd, vq, TL, Ts, &motor);

if (i % 100 == 0) {
            printf("%f, %f, %f, %f\n", i*Ts, state.id, state.iq, state.omega_m);
        }
    }

return 0;
}
```

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## 七、总结

### 7.1 核心公式汇总

| **方程** | **abc 坐标系** | **dq 坐标系**                                  | **备注**       |
| -------- | -------------- | ---------------------------------------------- | -------------- |
| **电压** | **复杂**       | **ud = Rs·id + Ld·did/dt - ωe·Lq·iq**     | **✅ dq 简洁** |
| **磁链** | **耦合**       | **ψd = Ld·id + ψf**                         | **✅ dq 解耦** |
| **转矩** | **复杂**       | **Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld-Lq)·id·iq]** | **✅ dq 清晰** |

### 7.2 关键要点

1. **坐标变换是核心**
   * **abc → αβ → dq**
   * **解耦、简化控制**
2. **dq 坐标系下**
   * **id 控制：磁通（弱磁）**
   * **iq 控制：转矩**
   * **独立控制，互不干扰**
3. **离散化**
   * **欧拉法：简单但精度一般**
   * **高阶方法：龙格-库塔、双线性变换**

### 7.3 下一步

**下一篇**：[坐标变换详解：Clarke 与 Park 变换的数学推导与代码实现](#)

**我们将深入学习：**

* **✅ Clarke/Park 变换的严格推导**
* **✅ 等功率 vs 等幅值变换**
* **✅ 三角函数优化（查表法）**
* **✅ CMSIS-DSP 加速**

---

## 附录：常用公式速查表

### A. 坐标变换矩阵

**Clarke（等幅值）**：

```
[iα]   [  1      -1/2      -1/2   ] [ia]
[iβ] = [  0      √3/2     -√3/2   ] [ib]
        └──────────────────────────┘
                   2/3
```

**Park**：

```
[id]   [  cosθe   sinθe ] [iα]
[iq] = [ -sinθe   cosθe ] [iβ]
```

**Inv\_Park**：

```
[iα]   [ cosθe  -sinθe ] [id]
[iβ] = [ sinθe   cosθe ] [iq]
```

### B. dq 电压方程

```
ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·(diq/dt) + ωe·Ld·id + ωe·ψf
```

### C. 转矩方程

```
Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]
```

---

## 参考资料

1. **《交流电机数学模型及调速系统》- 李永东**
2. **《现代永磁同步电机控制原理及 MATLAB 仿真》- 袁雷**
3. **Krause, P. C. "Analysis of Electric Machinery and Drive Systems"**
4. **Texas Instruments: "InstaSPIN-FOC Solution"**

---

> **更新日志**：
>
> * **2026-03-13：发布第 1 版**

电机数学模型：从物理到方程

系列：电机控制系列 - 第 4 篇 目标平台：STM32F407ZGT6 阅读时间：35 分钟 前置知识：微积分、电路理论、第 2 篇（电机基础）

前言

很多人看到数学公式就想逃。

但不懂数学模型 = 不懂控制：

为什么 PID 参数这样调？
为什么观测器需要这个方程？
为什么弱磁要这样计算？

答案都在数学模型里。

本篇目标：

✅ 理解 PMSM 的电压/磁链/转矩方程
✅ 掌握 abc → αβ → dq 坐标变换
✅ 学会离散化与代码实现

不用担心：我会用直觉 + 图示解释，不只是公式。

一、abc 坐标系下的电机模型

1.1 三相静止坐标系（abc）

 abc 坐标系：
 - a 轴：参考轴（0°）
 - b 轴：超前 a 轴 120°
 - c 轴：超前 b 轴 120°
 
         b 轴
          /\
         /  \
        /    \
       /______\
      a 轴   c 轴

1.2 电压方程

法拉第定律：

 施加电压 = 电阻压降 + 电感压降 + 反电动势
 
 ua = Rs·ia + (dψa/dt)
 ub = Rs·ib + (dψb/dt)
 uc = Rs·ic + (dψc/dt)
 
 其中：
 - ua, ub, uc：相电压（V）
 - ia, ib, ic：相电流（A）
 - Rs：定子电阻（Ω）
 - ψa, ψb, ψc：磁链（Wb）

磁链方程：

 磁链 = 自感磁链 + 互感磁链 + 永磁体磁链
 
 ψa = Laa·ia + Lab·ib + Lac·ic + ψf·cos(θe)
 ψb = Lba·ia + Lbb·ib + Lbc·ic + ψf·cos(θe - 120°)
 ψc = Lca·ia + Lcb·ib + Lcc·ic + ψf·cos(θe + 120°)
 
 其中：
 - Laa, Lbb, Lcc：自感（H）
 - Lab, Lbc, Lca：互感（H）
 - ψf：永磁体磁链（Wb）
 - θe：电角度（rad）

1.3 转矩方程

能量守恒：

 电磁转矩 = 电磁功率 / 机械角速度
 
 Te = P × [ψf·(ia·cosθe + ib·cos(θe-120°) + ic·cos(θe+120°)) +
           (Ld - Lq)·(id·iq)]
 
 其中：
 - P：极对数
 - id, iq：dq 坐标系电流（后续推导）
 - Ld, Lq：d 轴、q 轴电感

1.4 运动方程

牛顿第二定律：

 J × (dω/dt) = Te - TL - B×ω
 
 其中：
 - J：转动惯量（kg·m²）
 - ω：机械角速度（rad/s）
 - Te：电磁转矩（N·m）
 - TL：负载转矩（N·m）
 - B：摩擦系数（N·m·s/rad）

二、坐标变换：从 abc 到 dq

2.1 为什么要坐标变换？

问题：abc 坐标系下

❌ 三相耦合（ia, ib, ic 相互影响）
❌ 时变系统（电感随角度变化）
❌ 控制复杂

解决：变换到 dq 坐标系

✅ 解耦（id, iq 独立控制）
✅ 时不变（电感常数）
✅ 控制简单

2.2 Clarke 变换（abc → αβ）

 abc（三相静止） → αβ（两相静止）
 
 α 轴与 a 轴重合
 β 轴超前 α 轴 90°
 
 变换矩阵（等幅值变换）：
 
 [ iα ]   [  1      -1/2      -1/2    ] [ ia ]
 [ iβ ] = [  0      √3/2     -√3/2    ] [ ib ]
           └────────────────────────────┘
                     2/3
 
 简化公式：
 iα = ia
 iβ = (ia + 2·ib) / √3

物理意义：

3 维（abc）→ 2 维（αβ）
信息不变，只是换个坐标系

2.3 Park 变换（αβ → dq）

 αβ（两相静止） → dq（两相旋转）
 
 d 轴：磁极方向（直轴）
 q 轴：垂直磁极（交轴）
 dq 坐标系以电角速度 ωe 旋转
 
 变换矩阵：
 
 [ id ]   [  cosθe   sinθe ] [ iα ]
 [ iq ] = [ -sinθe   cosθe ] [ iβ ]
 
 其中：
 - θe：电角度（rad）
 - θe = P × θm（极对数 × 机械角度）

物理意义：

从"地面"看（αβ）→ 从"转子"看（dq）
旋转的电流矢量 → 静止的 id, iq

2.4 完整变换流程

 abc → αβ → dq
 
 [ ia ]      [ iα ]      [ id ]
 [ ib ]  →   [ iβ ]  →   [ iq ]
 [ ic ]
 
 Clarke       Park
 变换         变换

逆变换：

dq → αβ → abc

[ id ]      [ iα ]      [ ia ]
[ iq ]  →   [ iβ ]  →   [ ib ]
                         [ ic ]

Inv_Park    Inv_Clarke

三、dq 坐标系下的电机模型

3.1 电压方程（dq 坐标系）

最终形式（简洁！）

ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·(diq/dt) + ωe·Ld·id + ωe·ψf
     └──┬──┘   └───┬───┘   └──────┬──────┘
      电阻      电感压降     旋转电动势

其中：
- ud, uq：d 轴、q 轴电压（V）
- id, iq：d 轴、q 轴电流（A）
- Ld, Lq：d 轴、q 轴电感（H）
- ωe：电角速度（rad/s）= P × ωm
- ψf：永磁体磁链（Wb）

关键项解析：

项	公式	物理意义	控制影响
电阻压降	Rs·id, Rs·iq	铜损耗	低速影响大
电感压降	Ld·did/dt	电流变化产生	动态响应
旋转电动势	-ωe·Lq·iq	d 轴耦合项	需要解耦补偿
反电动势	ωe·ψf	永磁体产生	高速主导

3.2 磁链方程（dq 坐标系）

ψd = Ld·id + ψf
ψq = Lq·iq

简洁！无互感项！

3.3 转矩方程（dq 坐标系）

Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]
     └─────┬─────┘  └──────────┬──────────┘
       永磁转矩         磁阻转矩

SPM（Ld = Lq）：Te = (3/2)·P·ψf·iq
IPM（Ld < Lq）：额外磁阻转矩

3.4 运动方程（不变）

J·(dω/dt) = Te - TL - B·ω

四、数学模型的离散化

4.1 为什么需要离散化？

数字控制器：

单片机是离散系统（采样周期 Ts）
需要将连续微分方程 → 离散差分方程

4.2 欧拉法（一阶近似）

原理：

连续：dx/dt = f(x, u)

离散：x(k+1) = x(k) + f(x(k), u(k))·Ts

其中：
- Ts：采样周期（s）
- x(k)：当前状态
- x(k+1)：下一时刻状态

4.3 电压方程离散化

d 轴电流离散化：

连续：
ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq

解出 did/dt：
did/dt = (ud - Rs·id + ωe·Lq·iq) / Ld

离散化（欧拉法）：
id(k+1) = id(k) + Ts·(ud - Rs·id + ωe·Lq·iq) / Ld

q 轴电流离散化：

iq(k+1) = iq(k) + Ts·(uq - Rs·iq - ωe·Ld·id - ωe·ψf) / Lq

4.4 代码实现

/**
 * @brief 电流预测（离散化模型）
 */
void Current_Predict(float ud, float uq, float id, float iq,
                     float omega_e, float Ts,
                     Motor_Params_t *motor,
                     float *id_next, float *iq_next) {
    // d 轴电流预测
    *id_next = id + Ts * (ud - motor->Rs * id + omega_e * motor->Lq * iq) / motor->Ld;

    // q 轴电流预测
    *iq_next = iq + Ts * (uq - motor->Rs * iq - omega_e * motor->Ld * id - omega_e * motor->Psi_f) / motor->Lq;
}

五、STM32 代码实现

5.1 电机参数结构体

/**
 * @brief 电机参数
 */
typedef struct {
    float Rs;      // 定子电阻（Ω）
    float Ld;      // d 轴电感（H）
    float Lq;      // q 轴电感（H）
    float Psi_f;   // 永磁体磁链（Wb）
    float J;       // 转动惯量（kg·m²）
    float B;       // 摩擦系数（N·m·s/rad）
    uint8_t P;     // 极对数

    // 计算参数（加速运算）
    float inv_Ld;  // 1/Ld
    float inv_Lq;  // 1/Lq
    float inv_J;   // 1/J
} Motor_Params_t;

/**
 * @brief 初始化电机参数
 */
void Motor_Params_Init(Motor_Params_t *motor) {
    motor->Rs = 0.15f;    // Ω
    motor->Ld = 0.0025f;  // H
    motor->Lq = 0.0035f;  // H
    motor->Psi_f = 0.08f; // Wb
    motor->J = 0.0005f;   // kg·m²
    motor->B = 0.0001f;   // N·m·s/rad
    motor->P = 4;         // 8 极

    // 计算倒数（加速）
    motor->inv_Ld = 1.0f / motor->Ld;
    motor->inv_Lq = 1.0f / motor->Lq;
    motor->inv_J = 1.0f / motor->J;
}

5.2 坐标变换函数

#include <math.h>

/**
 * @brief Clarke 变换（abc → αβ）
 */
void Clarke_Transform(float ia, float ib, float ic,
                      float *i_alpha, float *i_beta) {
    // 等幅值变换
    *i_alpha = ia;
    *i_beta = (ia + 2.0f * ib) / 1.732050808f;  // √3 ≈ 1.732
}

/**
 * @brief Park 变换（αβ → dq）
 */
void Park_Transform(float i_alpha, float i_beta, float theta_e,
                    float *id, float *iq) {
    float cos_theta = cosf(theta_e);
    float sin_theta = sinf(theta_e);

    *id =  i_alpha * cos_theta + i_beta * sin_theta;
    *iq = -i_alpha * sin_theta + i_beta * cos_theta;
}

/**
 * @brief 逆 Park 变换（dq → αβ）
 */
void Inv_Park_Transform(float vd, float vq, float theta_e,
                        float *v_alpha, float *v_beta) {
    float cos_theta = cosf(theta_e);
    float sin_theta = sinf(theta_e);

    *v_alpha = vd * cos_theta - vq * sin_theta;
    *v_beta  = vd * sin_theta + vq * cos_theta;
}

5.3 转矩计算

/**
 * @brief 计算电磁转矩
 */
float Calc_Torque(float id, float iq, Motor_Params_t *motor) {
    // Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]
    float Te_perm = 1.5f * motor->P * motor->Psi_f * iq;
    float Te_reluct = 1.5f * motor->P * (motor->Ld - motor->Lq) * id * iq;

    return Te_perm + Te_reluct;
}

5.4 完整的电机模型仿真

/**
 * @brief 电机状态结构体
 */
typedef struct {
    float id, iq;        // dq 电流
    float omega_m;       // 机械角速度（rad/s）
    float theta_m;       // 机械角度（rad）
    float theta_e;       // 电角度（rad）
} Motor_State_t;

/**
 * @brief 电机模型更新（仿真一个采样周期）
 */
void Motor_Update(Motor_State_t *state,
                  float vd, float vq,
                  float TL,
                  float Ts,
                  Motor_Params_t *motor) {
    // 1. 计算电角速度
    float omega_e = state->omega_m * motor->P;

    // 2. 电流更新（欧拉法）
    float id_dot = (vd - motor->Rs * state->id + omega_e * motor->Lq * state->iq) * motor->inv_Ld;
    float iq_dot = (vq - motor->Rs * state->iq - omega_e * motor->Ld * state->id - omega_e * motor->Psi_f) * motor->inv_Lq;

    state->id += id_dot * Ts;
    state->iq += iq_dot * Ts;

    // 3. 转矩计算
    float Te = Calc_Torque(state->id, state->iq, motor);

    // 4. 转速更新
    float omega_dot = (Te - TL - motor->B * state->omega_m) * motor->inv_J;
    state->omega_m += omega_dot * Ts;

    // 5. 角度更新
    state->theta_m += state->omega_m * Ts;
    state->theta_e = state->theta_m * motor->P;

    // 6. 角度归一化
    if (state->theta_m > 2.0f * M_PI) {
        state->theta_m -= 2.0f * M_PI;
    }
    if (state->theta_e > 2.0f * M_PI) {
        state->theta_e -= 2.0f * M_PI;
    }
}

六、模型验证

6.1 稳态验证

测试条件：

id = 0, iq = 5A（额定电流）
ωm = 3000 rpm = 314 rad/s
TL = 0（空载）

预期结果：

1. 转矩：
Te = 1.5 × 4 × 0.08 × 5 = 2.4 N·m

2. 稳态电压：
ud = Rs·id - ωe·Lq·iq = 0 - 314×4×0.0035×5 = -21.98V
uq = Rs·iq + ωe·ψf = 0.15×5 + 314×4×0.08 = 0.75 + 100.48 = 101.23V

3. 转速（稳态）：
J·dω/dt = 0 → Te = B·ω
ω = Te / B = 2.4 / 0.0001 = 24000 rad/s（理论，实际受电压限制）

6.2 动态响应

仿真代码：

int main(void) {
    Motor_Params_t motor;
    Motor_State_t state = {0};
    Motor_Params_Init(&motor);

    float vd = 0, vq = 50.0f;  // 施加 50V q 轴电压
    float TL = 0;
    float Ts = 0.0001f;  // 0.1ms

    for (int i = 0; i < 10000; i++) {
        Motor_Update(&state, vd, vq, TL, Ts, &motor);

        if (i % 100 == 0) {
            printf("%f, %f, %f, %f\n", i*Ts, state.id, state.iq, state.omega_m);
        }
    }

    return 0;
}

七、总结

7.1 核心公式汇总

方程	abc 坐标系	dq 坐标系	备注
电压	复杂	ud = Rs·id + Ld·did/dt - ωe·Lq·iq	✅ dq 简洁
磁链	耦合	ψd = Ld·id + ψf	✅ dq 解耦
转矩	复杂	Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld-Lq)·id·iq]	✅ dq 清晰

7.2 关键要点

坐标变换是核心
- abc → αβ → dq
- 解耦、简化控制
dq 坐标系下
- id 控制：磁通（弱磁）
- iq 控制：转矩
- 独立控制，互不干扰
离散化
- 欧拉法：简单但精度一般
- 高阶方法：龙格-库塔、双线性变换

7.3 下一步

下一篇：坐标变换详解：Clarke 与 Park 变换的数学推导与代码实现

我们将深入学习：

✅ Clarke/Park 变换的严格推导
✅ 等功率 vs 等幅值变换
✅ 三角函数优化（查表法）
✅ CMSIS-DSP 加速

附录：常用公式速查表

A. 坐标变换矩阵

Clarke（等幅值）：

[iα]   [  1      -1/2      -1/2   ] [ia]
[iβ] = [  0      √3/2     -√3/2   ] [ib]
        └──────────────────────────┘
                   2/3

Park：

[id]   [  cosθe   sinθe ] [iα]
[iq] = [ -sinθe   cosθe ] [iβ]

Inv\_Park：

[iα]   [ cosθe  -sinθe ] [id]
[iβ] = [ sinθe   cosθe ] [iq]

B. dq 电压方程

ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·(diq/dt) + ωe·Ld·id + ωe·ψf

C. 转矩方程

Te = (3/2)·P·[ψf·iq + (Ld - Lq)·id·iq]

参考资料

《交流电机数学模型及调速系统》- 李永东
《现代永磁同步电机控制原理及 MATLAB 仿真》- 袁雷
Krause, P. C. "Analysis of Electric Machinery and Drive Systems"
Texas Instruments: "InstaSPIN-FOC Solution"

版权声明：本文采用 CC BY-NC-SA 4.0 协议，欢迎转载，但请注明出处。
更新日志：
2026-03-13：发布第 1 版

最后修改：2026 年 03 月 14 日

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